【天外之物】角动量与合力矩

角动量与合力矩的详细解释

1. 角动量（Angular Momentum）

• 定义：角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，表示物体绕某参考点的转动惯性。对于质点，其数学表达式为：
  $$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$$
  其中：

  • $\mathbf{r}$：质点到参考点 $O$ 的位置向量。
  • $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$：质点的动量（质量 $m$ 与速度 $\mathbf{v}$ 的乘积）。
  • $\times$ 表示向量叉乘，结果方向由右手定则确定。

• 物理意义：
  角动量的大小反映物体绕参考点转动的“强度”，方向垂直于 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{p}$ 所在平面。例如，行星绕太阳公转时，其角动量守恒决定了轨道平面的稳定性。

• 刚体角动量：
  对于刚体，角动量可表示为：
  $$\mathbf{L}=I\mathbf{\omega }$$
  其中 $I$ 为转动惯量，$\mathbf{\omega }$ 为角速度。

2. 合力矩（Net Torque）

• 定义：力矩是力对物体产生旋转效果的度量，合力矩则是所有力矩的矢量和。公式为：
  $${\mathbf{M}}_{\text{合}}=\sum {\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{F}}_i$$
  对于单一合力作用的情况，简化为：
  $${\mathbf{M}}_{\text{合}}=\mathbf{r}\times {\mathbf{F}}_{\text{合}}$$
  其中：

  • ${\mathbf{F}}_{\text{合}}$：作用在物体上的合外力。
  • $\mathbf{r}$：力的作用点相对于参考点 $O$ 的位置向量。

• 物理意义：
  合力矩决定物体角动量的变化。例如，用扳手拧螺母时，施加的力距螺母越远（$\mathbf{r}$ 越大），力矩越大，旋转效果越明显。

3. 角动量定理

• 关系式：合力矩等于角动量的时间导数：
  $${\mathbf{M}}_{\text{合}}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$

  • 推导：
    对质点的角动量 $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$ 求导：
    $$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p}+\mathbf{r}\times \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$
    其中 $\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}$，且 $\mathbf{v}\times \mathbf{p}=\mathbf{v}\times m\mathbf{v}=0$，因此：
    $$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times {\mathbf{F}}_{\text{合}}={\mathbf{M}}_{\text{合}}$$

• 守恒定律：
  若合力矩为零（${\mathbf{M}}_{\text{合}}=0$），则角动量守恒（$\mathbf{L}=\text{常数}$）。例如，花样滑冰运动员收紧身体（减小转动惯量 $I$）时，角速度 $\omega$ 增大以保持 $L=I\omega$ 不变。

4. 应用示例

• 行星运动：
  行星绕太阳的角动量守恒，导致轨道平面稳定，近日点速度快，远日点速度慢。
• 陀螺仪：
  高速旋转的陀螺仪角动量方向稳定，用于导航系统保持方向。
• 跳水运动：
  运动员通过调整身体姿态（改变转动惯量），控制旋转速度。

5. 注意事项

• 参考点选择：角动量和力矩的计算依赖于参考点 $O$ 的位置，不同参考点结果不同。
• 矢量方向：叉乘结果的矢量方向需用右手定则判断，垂直于 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{F}$ 所在平面。

总结

• 角动量：描述旋转运动的物理量，由位置与动量的叉乘定义。
• 合力矩：导致角动量变化的旋转效应，由位置与合外力的叉乘计算。
• 核心关系：合力矩等于角动量的变化率（$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$），是旋转动力学的牛顿第二定律。