一类简单而特殊数列的通项公式求法

前言

由$a_n$与$S_n$的关系求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式，在求通项公式题型中占有比较大的份额，是一个重要的求解思路和方法。是要求重点掌握的类型。但有一类简单而特殊的数列的通项公式的求解本来也是使用这个思路求解，但是有些学生不能将其顺利归类，反而容易朝错位相减法的方向跑偏；

方法依据

• 由$a_n$与$S_n$的关系求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式【要求重点掌握的类型】

方法：熟练记忆$a_n$与$S_n$的关系$a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1& n=1\\ S_n-S_{n-1}& n\ge 2\end{array}$，并灵活运用。注意：

①这是个分段函数，故求其解析式应该分段求解，容易忘记求解$n=1$的情形

②必须验证能否合二为一，如果能就写成一个式子，如果不能，写成分段数列的形式。

③若题目中是$a_{n+1}$，则$a_{n+1}$$=$$S_{n+1}$$-$$S_n$，而不是$a_{n+1}$$=$$S_n$$-$$S_{n-1}$，切记！

数学模型

例1、已知$2^1{a}_1+2^2{a}_2+2^3{a}_3+\cdots +2^n{a}_n=n$，求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式。

此题目中涉及两个数列，一个数列为 { a n } \{a_n\} {an​}，其前$n$项和为$S_n$；另一个数列为 { 2 n ⋅ a n } \{2^n\cdot a_n\} {2n⋅an​}，其前$n$项和为$T_n$，如果从已知$T_n$，求$n\cdot a_n$的角度理解，则此题目属于本节的类型；其思维顺序是这样的：由$T_n$先求解$n\cdot a_n$，然后解方程得到$a_n$，好多学生不大理解这个类型的本质，可以参阅一类简单而特殊数列的通项公式求法 ；

分析：由已知可得，当$n\ge 2$时，$2^1{a}_1+2^2{a}_2+2^3{a}_3+\cdots +2^{n-1}{a}_{n-1}=n-1$，

两式作差得到

当$n\ge 2$时，$2^n{a}_n=1$，即$a_n=\frac{1}{2^n}=(\frac{1}{2}{)}^n$，

又当$n=1$时，$2^1{a}_1=1$，即$a_1=\frac{1}{2}$，满足上式，

故所求通项公式为$a_n=(\frac{1}{2}{)}^n$，$n\in N^{\ast }$。

易错警示学生求解本题目时容易错误的认为应该利用“错位相减法”求解，这个理解是错误的，原因是数列 { 2 n ⋅ a n } \{2^n\cdot a_n\} {2n⋅an​}的组成部分之一 { 2 n } \{2^n\} {2n}是等比数列，但是另一个组成部分 { a n } \{a_n\} {an​}却没有告诉是等差数列，所以应用错误；另外，“错位相减法”是用来求解数列的前$n$项和$S_n$的，不是求解数列的通项公式$a_n$的；。

典例剖析

例2、在数列 { a n } \{a_n\} {an​}中，已知$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +n{a}_n=n(n+1)(n+2)$，求$a_n$=_____________。

分析：由已知$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +n{a}_n=n(n+1)(n+2)(n⩾1)$

则有$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +(n-1)a_{n-1}=(n-1)n(n+1)(n⩾2)$

两式作差，得到$n{a}_n=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)(n⩾2)$，

则$n{a}_n=3n(n+1)$，即$a_n=3(n+1)(n⩾2)$，

当$n=1$时，由原始已知式子可得，$a_1=1\times (1+1)\times (1+2)=6=3(1+1)$，满足上式，

故 a n = 3 ( n + 1 ) ( n ∈ N ∗ ) a_n=3(n+1)(n\in N^*) a