第五讲——一元函数微分学的几何应用

定义

极值

从定义上可以看出，极大值点/极小值点指的都是横坐标，横坐标对应的值才是极值。极值是一个局部概念，仅需在附近比较函数值大小，不涉及区间整体性质。 这里定义中的的邻域就是在$x_0$附近的意思。与函数在全局的最大/最小值有本质区别。
同时因为是在某一点的邻域附近所以要求其双侧邻域存在定义，而区间端点处因缺少单侧邻域而不讨论极值。间断点同样要求双侧邻域有定义，端点处也不讨论间断点。
间端点可以是极值点，可以取一些特殊情况验证。
根据极值的定义，严格来说，常数函数处处是极值，这和我们常见的先增后减取极大值，先减后增取极小值的刻板印象不相符。

单调性与极值的判别

驻点：一阶导数为0的点，例：$如果f^{\prime }(x_0)=0则x_0$就是驻点。
单调性的判别：设函数$f(x)在[a,b]上连续，(a,b)$内可导，则可以根据f’(x)来判断其单调性。
在函数可导的前提下，$f^{\prime }(x_0)=0$是极值点的必要条件。

必要条件：如果事件A是事件B的必要条件，那么B成立，则A一定成立。
例如：对于“是动物”(A)和“是狗”(B)，A是B的必要条件。因为如果是狗，则一定是动物。
充分条件：如果事件A是事件B的充分条件，那么A发生就足以保证B发生。也就是A→B。
如果A是B的必要条件，则B是A的充分条件。

实际以上描述是费马定理的另外一种说法罢了，费马定理如下：
$设f(x)在点x_0处满足①可导②取极值，则f^{\prime }(x_0)=0$。
事实上，若$x_0是曲线y=f(x)$的极值点，则只有以下两种情况：
$（1）f^{\prime }(x_0)=0$
$（2）x_0是不可导点$
判断极值的第一充分条件
$根据x_0的去心邻域判断，如果导数f^{\prime }(x)在x_0的左邻域和右邻域变号，那么点x_0$是极值点（极大值点/极小值点）

判断极值的第二充分条件
根据二阶导函数判断：
$设f(x)在x=x_0处二阶可导，且f^{\prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$
$①若f^{\prime \prime }(x_0)<0，则f(x)在x_0处取得极大值；$
$②若f^{\prime \prime }(x_0)>0，则f(x)在x_0处取得极小值。$

判断极值的第三充分条件
第三充分条件可以看作是第二充分条件的推广。我问你如果$f(x_0)$的一阶导为0，二阶导也为0那该怎么办？继续求三阶导，三阶导还为0呢？应该怎么办？……
设$f(x)在x=x_0处n阶可导$，且一直求导，前n-1阶导都为0，$f^{(n)}(x)$不为0
①当n为偶数且$f^{(n)}(x_0)<0时，f(x)在x_0$处取得极大值；
②当n为偶数且$f^{(n)}(x_0)>0时，f(x)在x_0$处取得极小值。

凹凸性与拐点的概念

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。拐点在曲线上，记作$(x_0,f(x_0))$
判别凹凸性
设函数$f(x)在I$上二阶可导
①若在$I上f^{\prime \prime }(x)＞0，则f(x)在I$上的图形是凹的；
②若在$I上f^{\prime \prime }(x)<0，则f(x)在I$上的图形是凸的。
在函数f(x)二阶可导的前提下，$f^{\prime \prime }(x_0)=0$是拐点的必要条件。
事实上，若点$(x_0,f(x_0)是函数y=f(x)$的拐点，则只有以下两种情况：
（1）$f^{\prime \prime }(x_0)=0，如点(0,0)是函数y=x^3$的拐点。

（2）$f^{\prime \prime }(x_0)不存在，如y=\sqrt[3]{x}$在(0,0)处的情形。

判别拐点的第一充分条件
$f(x)在点x=x_0$处连续，且在该点的左右邻域内$f^{\prime \prime }(x)$存在且变号，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点。这个可以用来证明上面的$y=\sqrt[3]{x}$在(0,0)处的情形。
判别拐点的第二充分条件
设$f(x)在x=x_0的某邻域内三阶可导，且f^{\prime \prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0，则点(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点。
判别拐点的第三充分条件
设$f(x)在x_0$处n阶可导，且从二阶导直到n-1阶导均为0，当n为奇数时，$f^{(n)}(x)$不为0，$点(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点。

极值点与拐点小结
根据上面的极值点和拐点的判别条件，我们可以得出：

1. 曲线的可导点不可同时为极值点和拐点（极值点要求一阶导函数为0，二阶导函数不为0；拐点要求二阶导函数为0，三阶导函数不为0;互相矛盾）

渐近线

渐近线有三种：铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，如下图所示：

x=0是铅直渐近线，y=0是水平渐近线，y=x是斜渐近线。
怎么求铅直渐近线？
铅直渐近线常表示为$x=x_0，也就是说f(x)无限的靠近这根线，也就是说f(x)在点x_0$处的极限为无穷。例如：$y=lnx的铅直渐近线x=0$。
要求铅直渐近线，先要找出函数的无定义点，函数定义区间的端点或者分段函数的分段点。
怎么求水平渐近线？
水平渐近线常表示为$y=y_0$，也就是说f(x)在趋近于正无穷或者负无穷时，无限接近$y=y_0$。比如：$y=\frac{1}{x}$的水平渐近线$y=0$。
怎么求斜渐近线？先求斜率再求截距，形式是$y=ax+b$，
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$$
$$\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]=b$$

曲率及曲率半径

设$y(x)二阶可导，则曲线y=y(x)在点(x,y(x))$处的曲率公式为:
$$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$
曲率半径$R$是曲率的倒数:
$$R=\frac{1}{k}=\frac{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}(y^{\prime \prime }\ne 0)$$
当然这两者是非负的。

复习贴士

对于基础概念，连着复习三天即可进入下一轮。