CGAL：最小包围圆
在平面几何中，最小包围圆 是指能够覆盖给定所有点的最小圆。换句话说，在包含这些点的所有圆中，最小包围圆具有最小的半径。最小包围圆的中心位置和半径取决于这些点的分布情况，目标是使圆尽可能紧凑地包含所有给定点。
一、最小包围圆的概念
（一）基本定义
最小包围圆是指能够覆盖给定所有点的最小圆。对于二维平面中的点集，最小包围圆的几何特性如下：
- 唯一性 ：对于大多数点集来说，最小包围圆是唯一的。只有在一些特殊情况下，可能存在多个最小包围圆。
- 三点确定一个圆 ：在二维空间中，如果三个点不在同一直线上，那么它们唯一确定一个圆。对于最小包围圆来说，通常有以下几种情况：
- 当圆恰好包含三个点（这三个点不在同一直线上），此时这个圆可能是包含这些点的最小包围圆。
- 当圆包含两个点，且这两个点位于圆的直径的两端时，这也可能是最小包围圆的一种情况。
（二）几何意义
最小包围圆的几何意义在于它能够以最小的半径覆盖所有给定点，这在很多实际应用中非常有用。例如，在计算机图形学中，可以用来快速判断物体是否可能发生碰撞；在模式识别中，可以作为物体形状的特征描述子。
二、CGAL 中最小包围圆的求解方法
CGAL（Computational Geometry Algorithms Library）是一个开源的计算几何算法库，提供了丰富的计算几何算法和数据结构。以下是以之前代码为例对 CGAL 求解平面点集最小包围圆方法的解释。
（一）代码示例
#include <CGAL/Simple_cartesian.h>
#include <CGAL/Min_sphere_of_spheres_d.h>
#include <CGAL/Min_sphere_of_points_d_traits_2.h>
#include <CGAL/Random.h>#include <iostream>typedef CGAL::Simple_cartesian<double> K;
typedef CGAL::Min_sphere_of_points_d_traits_2<K, double> Traits;
typedef CGAL::Min_sphere_of_spheres_d<Traits> Min_circle;
typedef K::Point_2 Point;int
main(int, char**)
{const int n = 100;Point P[n];CGAL::Random r; // random number generatorfor (int i = 0; i < n; ++i) {P[i] = Point(r.get_double(), r.get_double());}Min_circle mc(P, P + n);Min_circle::Cartesian_const_iterator ccib = mc.center_cartesian_begin(), ccie = mc.center_cartesian_end();std::cout << "center:";for (; ccib != ccie; ++ccib) {std::cout << " " << *ccib;}std::cout << std::endl << "radius: " << mc.radius() << std::endl;return 0;
}
（二）代码解释
-
头文件包含 ：
<CGAL/Simple_cartesian.h>：包含了 CGAL 中的简单笛卡尔坐标类，用于定义几何对象，如点、向量等。<CGAL/Min_sphere_of_spheres_d.h>：包含了计算最小包围球（这里是二维的最小包围圆）的相关类和函数。<CGAL/Min_sphere_of_points_d_traits_2.h>：提供了最小包围球算法在二维点场景下的具体 traits（特征），即定义了算法所需的几何类型和相关操作。<CGAL/Random.h>：包含了 CGAL 中的随机数生成器类，用于生成随机点。<iostream>：用于输入输出操作，这里主要是输出计算结果。
-
类型定义 ：
typedef CGAL::Simple_cartesian<double> K;：定义了一个基于双精度浮点数的笛卡尔坐标系，作为几何计算的基础内核。typedef CGAL::Min_sphere_of_points_d_traits_2<K, double> Traits;：定义了一个 traits 类，它为最小包围球算法提供了在二维点场景下所需的各种几何类型和操作。typedef CGAL::Min_sphere_of_spheres_d<Traits> Min_circle;：定义了最小包围圆的计算类。typedef K::Point_2 Point;：定义了一个二维点类型。
-
主函数 ：
- 定义了一个常量
n，表示要生成的随机点的数量。 - 创建了一个大小为
n的二维点数组P。 - 创建了一个随机数生成器对象
r，用于生成随机坐标值。 - 通过循环生成
n个随机点，并将其存储在数组P中。 - 创建了一个最小包围圆对象
mc，并传入点数组P的起始和结束迭代器，表示要计算这些点的最小包围圆。 - 获取最小包围圆中心点的笛卡尔坐标迭代器范围，并输出中心点的坐标值。
- 输出最小包围圆的半径值。
- 定义了一个常量
（三）求解原理
CGAL 内部采用高效的几何算法来求解最小包围圆。对于二维点集，其基于一些几何特性进行优化计算。简单来说，它会遍历点集，在几何空间中不断调整圆心和半径，寻找能够覆盖所有点且半径最小的圆。其核心思想是利用点与圆的位置关系，逐步确定满足条件的最小包围圆。
在求解过程中，CGAL 的算法能够充分利用几何特性，比如通过分析点与当前候选圆的位置关系（在圆内、圆上或圆外），来逐步缩小可能的圆心范围并调整半径，最终找到最优解。这种算法在计算效率和准确性上都有很好的表现，能够快速处理大量的二维点集数据。
三、最小包围圆的应用
（一）计算机图形学
在计算机图形学中，最小包围圆可用于物体的碰撞检测。例如，当需要判断两个物体是否可能发生碰撞时，可以先用它们的最小包围圆进行快速碰撞检测。如果两个物体的最小包围圆不相交，则物体之间不可能发生碰撞，从而避免了更为复杂的形状检测，大大提高了碰撞检测的效率。此外，最小包围圆在模型简化中也有作用，可以用简单的包围圆代替复杂模型的部分细节进行一些快速计算，如纹理映射时的范围估计等。
（二）模式识别与机器学习
在模式识别和机器学习领域，最小包围圆可以作为一种特征描述子。在图像处理中，它能够描述物体的形状特征。例如，对于图像中的一个目标物体，提取其轮廓上的点集后，计算最小包围圆，这个圆的中心位置、半径等信息可以作为该物体形状的一种量化特征，用于后续的分类、识别等任务。在聚类分析中，最小包围圆可以帮助确定簇的边界范围，辅助判断簇的紧密程度和分布情况。
（三）计算几何算法
在计算几何中，最小包围圆是许多算法的基础。它是距离计算、覆盖问题等方面的重要组成部分。例如，在设施选址问题中，假设要在一个区域内选择一个位置建造一个设施（如信号基站），要求该设施能够覆盖所有需求点且覆盖范围最小，此时最小包围圆就可以表示这个最优的覆盖范围，帮助确定设施的最佳选址位置。在路径规划问题中，也可以利用最小包围圆来确定障碍物的范围，从而规划出更合理的路径。
总之，平面点集的最小包围圆是一个重要的几何概念，在多个领域都有着广泛的应用。借助 CGAL 等计算几何工具，可以高效、准确地求解最小包围圆，为解决实际问题提供有力支持。